Ανάλυση

Η αυξανομένη σημασία των Μαθηματικών στο σύγχρονο κόσμο κατοπτρίζεται έντονα στο ενδιαφέρον των επιστημόνων να εισάγουν όλο και περισσότερα Μαθηματικά στα προγράμματα σπουδών τους και να μαθηματικοποιήσουν την επιστήμη τους. Κατά το τελευταίο τέταρτο του 20ου αιώνα οι θετικές επιστήμες παρουσίασαν μια εντυπωσιακή ανάπτυξη, σε έκταση και βάθος. Οι μαθηματικές τεχνικές έχουν διεισδύσει σε επιστημονικές περιοχές εκτός της μαθηματικής Επιστήμης, όπως π.χ. στη Φυσική, στην Τεχνολογία, στη Βιολογία, στην Οικονομία και στις Κοινωνικές Επιστήμες. Ηλεκτρονικοί υπολογιστές και υπολογιστικές τεχνικές δίνουν ερευνητικά ερεθίσματα σε περιοχές, των οποίων η σημασία για τα ίδια τα Μαθηματικά και για άλλες Επιστήμες είναι πολύ μεγάλη. Έτσι σήμερα μπορούμε να πούμε ότι η υψηλή Τεχνολογία είναι μαθηματική Τεχνολογία και ως εκ τούτου δεν μπορεί να υπάρξει σημαντική Τεχνολογική εξέλιξη χωρίς τη βαθύτερη γνώση των Μαθηματικών. Το βιβλίο αυτό περιλαμβάνει την ύλη της Μαθηματικής Ανάλυσης που διδάσκεται στα πρώτα εξάμηνα των Μαθηματικών και Τεχνολογικών Τμημάτων των Πανεπιστημίων και των Πολυτεχνείων. Το βιβλίο απευθύνεται επίσης και στους πτυχιούχους των Τμημάτων αυτών που ασκούν ήδη το επάγγελμά τους, γιατί αποτελεί ένα χρήσιμο βιβλίο αναφοράς. Στην παρούσα νέα έκδοση έχουν παρατεθεί οι λύσεις και οι υποδείξεις λύσεων πολλών ασκήσεων του βιβλίου, με σχόλια και παρατηρήσεις, καθώς και συμπληρωματικές ασκήσεις και παρατηρήσεις-προτάσεις που επιτρέπουν στον μελετητή (σπουδαστή και χρήστη) να επεκτείνει τις δυνατότητές του στην καλύτερη κατανόηση της ύλης, των πιθανών εφαρμογών της και τις εξελίξεις της σύγχρονης Τεχνολογίας και Επιστήμης. Σε όλο το βιβλίο όταν χρησιμοποιούμε σχέσεις, προτάσεις και έννοιες που είναι γνωστές από το Λύκειο δεν τις σχολιάζουμε, εφόσον θεωρούμε ότι οι σχολικές γνώσεις είναι ικανοποιητικές. Παραθέτουμε πολλά λυμένα παραδείγματα, που η γνώση τους είναι απαραίτητη για την κατανόηση της ύλης. Ορισμένα από αυτά θα μπορούσαν να αποτελούν προτάσεις ή πορίσματα στο αντίστοιχο κεφαλαίο. Πολλές ασκήσεις αποτελούν σημαντικό στοιχείο της ύλης του βιβλίου και γι' αυτό, όταν είναι απαραίτητο, θα παραπέμπουμε σ' αυτές. Στο τέλος των κεφαλαίων (2, 3, 10 και 11) υπάρχουν παραρτήματα (με σκιασμένο περιθώριο), όπου παρατίθενται αποδείξεις και σχόλια, που θεωρούμε ότι δεν είναι απαραίτητα σε πρώτη ανάγνωση και ενδιαφέρουν εκείνους που θα ήθελαν να εμβαθύνουν στα περιεχόμενα του αντίστοιχου κεφαλαίου. Περιεχόμενα: Kεφάλαιο 1: Σύνολα, μαθηματική λογική & απεικονίσεις Kεφάλαιο 2: Πραγματικοί αριθμοί Kεφάλαιο 3: Ακολουθίες πραγματικών αριθμών Kεφάλαιο 4: Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής Kεφάλαιο 5: Όρια συναρτήσεων Kεφάλαιο 6: Συνεχείς συναρτήσεις Kεφάλαιο 7: Παράγωγoς συναρτήσεων μιας μεταβλητής Kεφάλαιο 8: Θεμελιώδη θεωρήματα διαφορικού λογισμού Kεφάλαιο 9: Εφαρμογές του διαφορικού λογισμού Kεφάλαιο 10: Ορισμένο ολοκλήρωμα - Ολοκλήρωμα Riemann Kεφάλαιο 11: Εφαρμογές του ορισμένου ολοκληρώματος Kεφάλαιο 12: Σειρές πραγματικών αριθμών Kεφάλαιο 13: Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων Kεφάλαιο 14: Δυναμοσειρές Kεφάλαιο 15: Γενικευμένα ολοκληρώματα Λύσεις, υποδείξεις λύσεων, συμπληρωματικές ασκήσεις Πίνακες Bιβλιογραφία Eυρετήριο ονομάτων Λημματολόγιο